Ejercicios de Conceptos de Relaciones

Solución:

a. Evaluemos cada caso:

• ¿Es $10 \, T \, 1$?
  Necesitamos verificar si $3 | (10 - 1) $, es decir, $3 | 9$. Como $9 = 3 \times 3$, tenemos que $3 | 9$, por lo tanto, sí, $10 \, T \, 1$.
• ¿Es $1 \, T \, 10$?
  Necesitamos verificar si $3 | (1 - 10)$, es decir, $3 | (-9)$. Como $-9 = 3 \times (-3)$, tenemos que $3 | (-9)$, por lo tanto, sí, $1 \, T \, 10$.
• ¿Es $(2, 2) \in T$?
  Necesitamos verificar si $3 | (2 - 2 )$, es decir, $3 | 0$. Como $0 = 3 \times 0$, tenemos que $3 | 0$, por lo tanto, sí, $(2, 2) \in T$.
• ¿Es $(8, 1) \in T$?
  Necesitamos verificar si $3 | (8 - 1)$, es decir, $3 | 7$. Como $7 = 3 \times 2 + 1$, el residuo es 1, entonces $3 \nmid 7$, por lo tanto, no, $(8, 1) \notin T$.

b. Para que $n \, T \, 0$, necesitamos que $3 | (n - 0) = 3 | n$. Esto significa que $n$ debe ser múltiplo de 3. Así, puede ser $n \in \{0, 3, 6, -3, -6\}$.

c. Para que $n \, T \, 1$, necesitamos que $3 | (n - 1)$. Esto significa que $n - 1$ debe ser múltiplo de 3, es decir, $n \equiv 1 \pmod{3}$. Así, puede ser $n \in \{1, 4, 7, -2, -5\}$.

d. Para que $n \, T \, 2$, necesitamos que $3 | (n - 2)$. Esto significa que $n - 2$ debe ser múltiplo de 3, es decir, $n \equiv 2 \pmod{3}$. Así, puede ser $n \in \{2, 5, 8, -1, -4\}$.

Solución:

a. Verificamos si $\{a\} \Join \{c\}$:

Tenemos $\{a\} \cap \{c\} = \emptyset$. Como la intersección es vacía, no se cumple $\{a\} \Join \{c\}$.

b. Verificamos si $\{a, b\} \Join \{b, c\}$:

Calculamos $\{a, b\} \cap \{b, c\} = \{b\}$. Como la intersección no es vacía, sí se cumple $\{a, b\} \Join \{b, c\}$.

c. Verificamos si $\{a, b\} \Join \{a, b, c\}$:

Calculamos $\{a, b\} \cap \{a, b, c\} = \{a, b\}$. Como la intersección no es vacía, sí se cumple $\{a, b\} \Join \{a, b, c\}$.