Operaciones Generalizadas de Conjuntos

Solución:

$$\displaystyle \bigcup_{n\in \mathbb{N}^*} [0, n] = [0,+\infty[$$

La unión de todos los intervalos $[0,1], [0,2], [0,3], \ldots$ cubre todos los números reales no negativos. Para cualquier número real $x \geq 0$, siempre podemos encontrar un natural $n$ tal que $x \leq n$, por lo que $x \in [0,n]$ y por tanto $x$ pertenece a la unión.

Solución:

$$\displaystyle \bigcup_{n\in \mathbb{N}^*} [0, 1-1/n] = [0,1[$$

Analicemos algunos casos:

• Para $n=1$: $[0, 1-1/1] = [0,0] = \{0\}$
• Para $n=2$: $[0, 1-1/2] = [0,1/2]$
• Para $n=3$: $[0, 1-1/3] = [0,2/3]$
• Para $n=4$: $[0, 1-1/4] = [0,3/4]$

La secuencia $1-1/n$ se acerca a 1 cuando $n \to \infty$, pero nunca alcanza el valor 1. Por tanto, la unión es $[0,1[$ (sin incluir el 1).

Solución:

$$\displaystyle \bigcap_{n\in \mathbb{N}^*} [0, 1/n] = \{0\}$$

Tenemos la intersección:

$[0,1] \cap [0,1/2] \cap [0,1/3] \cap [0,1/4] \cap \cdots$

Para que un elemento $x$ pertenezca a la intersección, debe estar en todos los intervalos $[0, 1/n]$ para todo $n \in \mathbb{N}^*$.

Si $x > 0$, entonces por el principio de Arquímedes, existe un $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tal que $1/n_0 < x$, lo que significa que $x \notin [0, 1/n_0]$. Por tanto, $x$ no puede estar en la intersección.

El único elemento que pertenece a todos los intervalos es $x = 0$.

Solución:

$$\displaystyle \bigcap_{n\in \mathbb{N}^*} ]0, 1/n] = \varnothing$$

Tenemos la intersección:

$]0,1] \cap ]0,1/2] \cap ]0,1/3] \cap ]0,1/4] \cap \cdots$

Para que un elemento $x$ pertenezca a la intersección, debe cumplir que $0 < x \leq 1/n$ para todo $n \in \mathbb{N}^*$.

Si $x > 0$, entonces por el principio de Arquímedes, existe un $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tal que $1/n_0 < x$, lo que significa que $x \notin ]0, 1/n_0]$.

Por tanto, no existe ningún elemento $x > 0$ que pertenezca a todos los intervalos. Además, $x = 0$ no pertenece a ninguno de los intervalos porque todos son abiertos en 0.

En conclusión, la intersección es vacía.