Ejercicios de Teoría de Conjuntos

Solución:

Notemos que $\varnothing \in \{\varnothing\}$, pero $\varnothing \notin \varnothing$.

El conjunto $\varnothing$ es el conjunto vacío (no contiene elementos), mientras que $\{\varnothing\}$ contiene un elemento: el conjunto vacío $\varnothing$.

En conclusión, los conjuntos $\varnothing$ y $\{\varnothing\}$ no son iguales.

Solución:

Notemos que $\{\varnothing\}$ contiene únicamente al elemento $\varnothing$, mientras que $\{\{\varnothing\}\}$ contiene únicamente al elemento $\{\varnothing\}$.

Para que los conjuntos sean iguales, sus elementos deben ser iguales. Por el Ejercicio 1, sabemos que $\varnothing \neq \{\varnothing\}$.

En conclusión, los conjuntos $\{\varnothing\}$ y $\{\{\varnothing\}\}$ no son iguales.

Solución:

Listamos todos los subconjuntos de $A = \{a,b,c\}$ por número de elementos:

• Cero elementos: $\varnothing$
• Un elemento: $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$
• Dos elementos: $\{a,b\}$, $\{a,c\}$, $\{b,c\}$
• Tres elementos: $\{a,b,c\}$

Por lo tanto:

$$\mathcal{P}(A) = \{ \varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\} \}.$$

Podemos verificar que el total de subconjuntos es $2^3 = 8$. ✓

Solución:

1. $\mathcal{P}(\varnothing)$:

El único subconjunto de $\varnothing$ es $\varnothing$, por tanto: $\mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\}$.

2. $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))$:

Los subconjuntos de $\{\varnothing\}$ son $\varnothing$ y $\{\varnothing\}$, por tanto: $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) = \{ \varnothing, \{\varnothing\} \}$.

3. $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)))$:

Los subconjuntos de $\{ \varnothing, \{\varnothing\} \}$ son:

• $\varnothing$ (conjunto vacío)
• $\{\varnothing\}$ (un elemento)
• $\{\{\varnothing\}\}$ (el otro elemento)
• $\{ \varnothing, \{\varnothing\} \}$ (conjunto completo)

Por lo tanto:

$$\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))) = \{ \varnothing, \{\varnothing\}, \{\{\varnothing\}\}, \{ \varnothing, \{\varnothing\} \} \}.$$